垂直平分线定理的证明 想象你手里握着一把标尺，面前是一条直线，线上有一个点 A。
要是让你去验证一个关于三角形内角平分线的结论，你会如何做？往往不是先拿尺子量出一个长度，也不是先去构造一堆辅助线，而是先拿笔在纸上轻轻画一条线，把难题切开，变成两个一模一样的小难题。
这就是垂直平分线定理最朴素的证明方式。 我们一般要证明的结论是：在一个三角形里，内角平分线的长度等于它对应底边上高减去该边向外作垂线所得的线段长度。好办来说，就是 $L = h - a$。
这个公式看着有点吓人，实际上只要把 $L$、$h$、$a$ 定义清楚，难题就迎刃而解了。 起初，我们需求明确啥是内角平分线。三角形的内角平分线，就是把一个角分成两个相等的角的线。比方说，三角形 ABC 里，AD 是角 A 的平分线，那么 $angle BAD$ 就等于 $angle CAD$。我们要计算 AD 的长度。 这题没法用好办的“勾股定理”直接套。
要是你直接用 $a, b, c$ 的公式去算，那数学题就变成填空题了，没有任何思索空间。
故此，我们务必把它变成几何证明题。 最好办粗暴的方式是作高。过点 A 做一条平行于 BC 的线，然后在两条平分线上分别作垂线。
这样你就有了两个直角三角形。 假设我们在三角形 ABC 中，AD 是 $angle A$ 的平分线，交 BC 于点 D。目前我们要找 AD 的长度。过 A 点作 AE 垂直于 BC 的延长线于 E，再作 BF 平行于 AE。 先说 BF。出于 AE 垂直于 BC，BF 平行于 AE，故此 BF 也垂直于 BC。而 AD 是角平分线，根据角平分线定理，BF 会把 BC 分成两半。
也就是说，BC 上的那段长度等于 $AE$ 的长度。 这就通了。目前看 AD 和 BF 这两条线段的关系。AD 是从顶点到对边的连线，BF 是水平的那条辅助线。它们实际上构成了一个长方形的两条对角线的一局部。 具体来说，过 B 和 C 分别做 AE 的垂线，设垂足分别为 G 和 H。
那么 BGH 就是一个长方形，AH 等于 GH。 关键在于，直角三角形 ABD 和直角三角形 AHD 是全等的。
为啥？
1. $angle BAD = angle DAB$，这是角平分线的定义。
2. AD 是两个三角形的公共斜边。
3. 什么的，这里有个细节，直角三角形 ABD 和 AHD 的斜边是 AD，它们不是直角三角形，是直角三角形 ABD 和直角三角形 AHD 的一局部。
4. 在直角三角形 ABD 中，$sin A = frac{BD}{AD}$。
5. 在直角三角形 AHD 中，$sin A = frac{HD}{AD}$。
6. 出于 BD = HD（角平分线定理），故此这两个斜边上的直角边相等。 既然直角边相等，斜边也相等，那这两个直角三角形全等。 全等意味着对应边相等。
也就是说，AD 等于它自己，但这还不够。我们需求证明 AD 等于啥。 让我们重新梳理一下全等带来的信息。 在直角三角形 ABD 中，$cos A = frac{BD}{AD}$。 在直角三角形 AHD 中，$cos A = frac{HD}{AD}$。 出于 BD = HD，这只能说明三角形 ABD 和 AHD 全等，这验证了定理的一个基础。 目前，我们要找 AD 的具体数值。 设 $angle BAD = alpha$，$angle CAD = alpha$。 在直角三角形 ABD 中，$AD = frac{BD}{sin alpha}$。 在直角三角形 AHD 中，$AD = frac{HD}{sin alpha}$。 这说明 AD 的长度依赖于 BD 和 $alpha$。 什么的，上面的推导有个漏洞。我们需求把 AD 和 AE 联系起来。 AE 是 BC 边上的高，AE 的长度就是 $h_a$。 $AE = h_a$。 根据全等三角形的性质，直角三角形 ABD 和直角三角形 AHD 实际上是全等的。 这意味着 $AD = AD$，这没用。 我们需求的是 $AD$ 和 $AE$ 的关系。 在直角三角形 ABE 中，$AE = AB cdot sin alpha$。 在直角三角形 ABD 中，$BD = AB cdot sin alpha$。 在直角三角形 AHD 中，$HD = AH$。 这里卡住了。我们需求一个更直观的例子来打破“三角形”这个框架，让证明变得像讲故事一样自然。 好的，我们不用全等三角形的复杂推导，直接拿一个具体的三角形来讲话。 假设有 $triangle ABC$，$angle A = 60^circ$，$angle B = 45^circ$，$angle C = 75^circ$。 AD 是角 A 的平分线，故此 $angle BAD = 30^circ$，$angle CAD = 30^circ$。 BC 边上的高 AE 垂直于 BC。 角平分线定理告诉我们 BD = CD。 设 $triangle ABC$ 的边长 $BC = a$，则 $BD = CD = a/2$。 高 $h = AE = AD cdot sin 30^circ$。 这说明 $AD = h / 0.5 = 2h$。 什么的，这不对。角平分线定理是 BD = CD，即 $a/2$。 在直角三角形 ABE 中，$AB = AE / sin B = h / sin 45^circ = h cdot sqrt{2}$。 在直角三角形 ABD 中，$angle ADB = 180 - 45 - 30 = 105^circ$。 $BD = AB cdot sin 30^circ$。 故此 $a/2 = (h cdot sqrt{2}) cdot 0.5 = h cdot sqrt{2} / 2$。 故此 $a = h cdot sqrt{2}$。 这似乎走远了。 让我们回到最基础的定义。 设三角形 ABC 的角平分线为 AD，对应的高为 AE。 我们要证明 $AD = AE - AB$。 这个结论看起来有点怪，出于 AB 是腰，AD 是内部线段，如何可能比腰还短？ 哦，我看错了公式。 标准公式是：角平分线长度 $= $ 高 - 底边的一半。 不对，底边的一半是 BD。 公式应当是：$AD = h - BD$。 这更合理。 让我们重新拿一个具体的数据来验证。 设 $triangle ABC$ 中，$AB = 10$，$AC = 10$，$angle A = 90^circ$。 这是一个等腰直角三角形。 $BC = 10sqrt{2} approx 14.14$。 角平分线 AD 也是中线，故此 D 是 BC 中点。 $BD = 7.07$。 高 AE 是从 A 到 BC 的垂线。在等腰直角三角形里，斜边上的高就是斜边的一半。 $AE = 7.07$。 那 $AE - BD = 7.07 - 7.07 = 0$。 这意味着 AD 的长度是 0？显然不对。AD 的长度应当是 $7.07$。 啊，我搞混了公式。 标准的角平分线长度公式是：$AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$。 对于等腰直角三角形，$AD^2 = 100 - 7.07^2 = 100 - 50 = 50$，故此 $AD = sqrt{50} approx 7.07$。 高 AE 是 $7.07$。 故此 $AD = AE$。 这时候 $AE - BD = 0$，不等于 $AD$。 说明我刚刚引用的公式 $AD = h - a$ 是毛病的，要么是记错了字母。 重新查证一下定理内容。 内角平分线定理：$AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$。 高 $h = frac{2 S}{a}$。 这个定理实际上是：角平分线长度 = 高 - 底边。 这里的“底边”指的是底角所对的边。 要是是 $angle A$ 的平分线，对应的高是 $h_a$。 对应的底边是 BC。 $AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$。 这个公式里，$BD cdot CD$ 就是一个定值。 对于等腰直角三角形，$BD cdot CD = (a/2)^2 = a^2/4$。 $AD^2 = AB cdot AC - a^2/4 = 100 - 50 = 50$。 $AD = sqrt{50} approx 7.07$。 高 $h = a/sqrt{2} = 7.07$。 高 - AC/2 = 7.07 - 7.07 = 0。 这说明 $AD = sqrt{AB cdot AC - BD cdot CD}$。 要是要证明 $AD = h - BD$，那 $h$ 务必是 $AB$。 $h = AB cdot sin B$。 $BD = AB cdot cos B$。 $h - BD = AB (sin B - cos B)$。 这显然不等于 $sqrt{AB cdot AC - BD cdot CD}$。 看来我之前的记忆有误。对的定理表述应当是： 角平分线长度等于 高 - 底角所对的边。 即 $AD = h_a - b$，其中 $b$ 是 BC 边上的高对应的底角（实际上是 A 角对应的边，即 BC）。 不对，底角是指 $angle B$ 和 $angle C$。 对的表述是：角平分线 $AD$ 的长度等于 从 A 点作 BC 边上的高 $h_A$ 减去 从 B 点作的高 $h_B$ 再减去 从 C 点作的高 $h_C$？不对。 让我们换个角度，用具体的数值来演示证明过程，而不是纠结于那个抽象公式。 假设我们要证明的是：$AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$。 这个公式忒长了，好办让人晕。 我们简化一下，只证明一个特殊情况，比如 $triangle ABC$ 是等腰三角形，AB = AC。 此时，角平分线 AD 也是高，也是中线。 $AD perp BC$，$D$ 是 $BC$ 中点。 $AD = h_a$。 $BD = a/2$。 公式变成 $h_a^2 = AB cdot AC - (a/2)^2$。 出于 $AB = AC$，故此 $h_a^2 = AB^2 - (a/2)^2$。 展开左边：$h_a^2 = h_a^2$。 右边：$AB^2 - (a/2)^2$。 这恒等式成立。 说明在等腰三角形里，公式是对的。 也就是说，$AD = h_a$。 而 $AB cdot AC - BD cdot CD = AB^2 - (a/2)^2 = h_a^2$。 故此 $AD = sqrt{AB^2 - (a/2)^2}$。 而 $h_a = sqrt{AB^2 - (a/2)^2}$。 故此 $AD = h_a$。 这也没错。 那要是是一般三角形呢？ 我们需求证明 $AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$。 这实际上就是角平分线定理的推论。 证明过程贼详细，涉及余弦定理。 在 $triangle ABD$ 中，$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 AB cdot BD cdot cos B$。 在 $triangle ACD$ 中，$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 AC cdot CD cdot cos C$。 出于 $angle B + angle C + angle A = 180$，$angle B = angle C$（假设对称），$angle A$ 的平分线性质。 实际上不需求如此复杂。 我们能够直接引用角平分线定理：$BD/CD = c/b$。 然后利用 $AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$ 这个定理的几何意义。 这个定理的意思是：$AD$ 的长度，能够通过 $AB, AC$ 和 $BD, CD$ 来表示。 而 $h_a$ 的长度，能够通过 $AB, AC$ 和 $BD, CD$ 来表示。 最终比较一下，就会发现它们相等。 既然定理本身是 $AD^2 = AB cdot AC - BD cdot CD$。 而高 $h_a = sqrt{AB^2 - BD^2}$（在直角三角形 ABD 中，斜边 AB，直角边 BD，$AD$）。 等一下，在直角三角形 ABD 中，$AB^2 = AD^2 + BD^2$。 故此 $AD^2 = AB^2 - BD^2$。 要是有 $h_a^2 = AB^2 - BD^2$。 那么 $AD = h_a$。 这说明角平分线长度等于高。 这只有在等腰三角形时才成立。 那么对于非等腰三角形呢？ 高 $h_a$ 不等于 $h_b$ 也不等于 $h_c$。 $AB^2 = h_a^2 + BD^2$。 $AC^2 = h_a^2 + CD^2$。 $AB^2 - BD^2 = h_a^2$。 $AC^2 - CD^2 = h_a^2$。 故此 $h_a^2 = AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$。 代入 $AD^2 = AB^2 - BD^2$。 拿到 $AD = h_a$。 这说明角平分线长度等于高。 这显然不对，出于角平分线是在三角形内部，高也是内部线段，但它们长度一般不相等，要不就是等腰三角形。 哪儿出难题了？ 啊，我发现了。 $AB^2 = AD^2 + BD^2$。 $h_a^2 = AB^2 + BD^2$？不对，$h_a^2 = c^2 - BD^2$。 在 $triangle ABD$ 中，$c^2 = AD^2 + BD^2$。 故此 $AD^2 = c^2 - BD^2$。 在 $triangle ABE$ 中，$h_a^2 = c^2 - BD^2$。 故此 $AD = h_a$。 这说明对于任意三角形，角平分线的长度都等于高？ 这显然是错的。 比如 $triangle ABC$，$AB=c, AC=b, BC=a$。 角平分线 $AD$ 的长度由公式 $AD = frac{2bc cos(A/2)}{b+c}$。 高 $h_a = frac{2 S}{a} = frac{bc sin A}{a}$。 这两个公式不相等。 我的推导 $AD^2 = c^2 - BD^2$ 哪儿错了？ 在直角三角形 ABD 中，$angle ADB$ 不一定是直角。 只有当 $AB perp BD$ 时，$AB$ 才是斜边，$BD$ 是直角边。 但 $triangle ABD$ 是钝角三角形，$angle ADB$ 是钝角，故此 $AB$ 是斜边？不对，$angle ADB$ 要是是钝角，那 $AB$ 才是斜边。 但在直角三角形 ABD 中，$angle ADB$ 是直角时，$AB$ 是斜边。 要是 $angle ADB$ 不是直角，那 $AB$ 就不是斜边。 故此 $AD^2 = c^2 - BD^2$ 这个推导是毛病的。 对的直角三角形关系是：在 $triangle ABD$ 中，$AD^2 + BD^2 = c^2$。 故此 $AD = sqrt{c^2 - BD^2}$。 而在高 $h_a$ 中，$h_a^2 + BD^2 = c^2$（在直角三角形 ABE 中，$h_a$ 是直角边，$BD$ 是直角边，$AB$ 是斜边）。 故此 $h_a = sqrt{c^2 - BD^2}$。 故此 $AD = h_a$。 这说明角平分线长度等于高。 这依然不对。 $BD$ 是高 $h_a$ 在 $BC$ 上的截距。 在直角三角形 ABE 中，$h_a^2 + (AB text{在 BC 上的投影})^2 = AB^2$。 设 $AB$ 在 BC 上的投影为 $x$。 $h_a^2 + x^2 = c^2$。 故此 $h_a = sqrt{c^2 - x^2}$。 而在 $triangle ABD$ 中，$AD^2 + BD^2 = c^2$。 故此 $AD = sqrt{c^2 - BD^2}$。 出于 $h_a = sqrt{c^2 - x^2}$。 要是 $AD = h_a$，那务必 $BD = x$。 即 $D$ 和垂足重合。 这意味着 $angle ADB = 90^circ$。 这意味着 $AB perp BC$。 这意味着三角形是直角三角形，且 $angle A = 90^circ$。 要么 $angle C = 90^circ$。 要是是等腰三角形，$AB=AC$，高重合，$D