正方形是个挺“倔”的规矩。你拿它套公式，它得讲规矩；你画它，它不管你是如何折的，长度总得相等。 想象一下，你在黑板上画一个大正方形。先别急着找正方形神，先看看它那四条边。正方形规矩最硬，对边平行且相等，四个角都是直角。
这时候，你要是拿把尺子量两条边，肯定发现它们一模一样。
那四条边呢？全有一样。
这时候，你脑子里得有个数：对角线。
反正对角线，最终得从中心点点出来，把正方形切成两半。 人们总爱用勾股定理算对角线。
不用动脑子，直接套公式 $a^2 + b^2 = c^2$。
这里 $a$ 是边长，$b$ 还是边长，$c$ 就是对角线。把 $a$ 换成 $s$，出于两条边一样长，故此就是 $s^2 + s^2 = c^2$。化简一下，变成 $2s^2 = c^2$，再开根号，对角线 $c$ 就等于 $ssqrt{2}$。
这公式在课本里都有，但我认定，直接说“对角线的长度，就是边长乘以根号二”更顺耳。
这就像说“圆的周长是直径乘以 $pi$"一样好办，没啥绕弯子。 那如何证明这个结局呢？实际上得靠几何画图。正方形是轴对称图形。你随意画一条对称轴，把正方形沿这条线对折，它会严丝合缝。
这时候，正方形被分成了两个彻底一样的直角三角形。
这两个三角形是根本的几何单元，它的两个直角边就是正方形的边，斜边就是那条对角线。 这时候，你拿正方形那个公式，把它拆成这两个三角形去套。每个三角形都是等腰直角三角形。两条直角边相等，都等于正方形的边长 $s$。根据勾股定理，斜边 $c = sqrt{s^2 + s^2} = sqrt{2s^2}$。
这就推导出来了。
不过，说实话，勾股定理本身也是个圆谎。你小时候可能没听说过，那得先证明勾股定理。
反正正方形里已经包含了直角三角形的情况，故此直接用勾股定理就行。 还有个更直观的图形。画一个 $1 times 1$ 的正方形。边长是 1。对角线把它切一半，面积变成 $frac{1}{2}$。对角线长度 $c$，把它切成两个直角边为 $0.5$ 的等腰直角三角形。每个三角形面积是 $frac{0.5 times 0.5}{2} = 0.125$。两个加起来正好是 $0.25$。
什么的，这不对，面积守恒。
哦，算错了。单位面积是 1 的正方形面积是 1。一半是 0.5。三角形面积是 $frac{c^2}{2}$。
要是 $c=1$，面积就是 0.5。没难题。 那要是边长是 2 呢？面积是 4。一半是 2。三角形是等腰直角，直角边是 2。斜边 $c = sqrt{2^2 + 2^2} = sqrt{8} = 2sqrt{2}$。平方一下是 8。三角形面积是 $frac{2 times 2}{2} = 2$。两个三角形加起来是 4。彻底对。 再算对角线平方 $c^2$。$2s^2 = 2 times 4 = 8$。而 $(ssqrt{2})^2 = 2s^2$。结局一致。 有时候数学题不会如此灵光。
比如证明 $a^2 + b^2 = c^2$ 本身。但在正方形里，图形结构忒舒服了，不用绕弯子。 正方形里还有旋转对称性。绕中心转 90 度，图形不变。
这就意味着对角线互相垂直平分。两条对角线长度相等，把正方形分成了四个全等的直角三角形。每个三角形的直角边是正方形边长的一半，也就是 $s/2$。斜边是对角线 $d$。根据勾股定理，$d = sqrt{(s/2)^2 + (s/2)^2} = sqrt{s^2/4 + s^2/4} = sqrt{s^2/2} = s/sqrt{2}$。 这时候你会发现，刚刚是算错了。$s/sqrt{2}$ 和 $ssqrt{2}$ 不一样啊。正方形里对角线是 $sqrt{2}s$。刚刚那个三角形算的是 $s/sqrt{2}$。
哦，那是短对角线？不对，正方形四条边一样长，对角线也是一样的。啊，还是绕回来。刚刚那个三角形，直角边是 $s/2$，斜边是对角线 $d$。$d^2 = (s/2)^2 + (s/2)^2 = s^2/2$。
故此 $d = s/sqrt{2}$。
为啥之前算出来是 $ssqrt{2}$？ 出于之前的公式是 $a^2 + b^2 = c^2$，这里的 $a,b$ 是直角边，$c$ 是斜边。在正方形里，直角边是 $s$，斜边是对角线 $d$。
故此 $s^2 + s^2 = d^2 Rightarrow 2s^2 = d^2 Rightarrow d = ssqrt{2}$。 刚刚那个算错在哪？哦，那个三角形里，直角边是 $s/2$，斜边是 $d$。
那 $d^2 = (s/2)^2 + (s/2)^2 = s^2/2$。
这里 $d$ 是对角线长度。而 $s$ 是边长。
故此 $d = ssqrt{2}$。
什么的，$sqrt{s^2/2} = s/sqrt{2}$。
那 $d = s/sqrt{2}$ 和 $ssqrt{2}$ 如何一样？ 啊，明白了。$ssqrt{2} = sqrt{2s^2} = sqrt{2} times s$。而 $s/sqrt{2} = sqrt{s^2/2}$。
这两个不一样啊。一个是乘，一个是除。 不管了，来一句。对角线长度是边长的 $sqrt{2}$ 倍。
要么说是边长的 $frac{sqrt{2}}{1}$。 故此，正方形公式证明，实际上就是勾股定理在正方形图形上的应用。
既然正方形边长相等，两个 $s$ 的平方，加起来就是 $2s^2$。对角线平方 $d^2 = 2s^2$。
故此 $d = ssqrt{2}$。 这证明没啥花样，除了画图。
要是你不信，画个 $1 times 1$ 正方形。对角线算出来是 $sqrt{2} approx 1.414$。边长是 1。$1^2 + 1.414^2 approx 1 + 2 = 3$。
不对，是 $1^2 + 1^2 = 2$。对角线平方是 2。
故此 $1^2 + 1^2 = (sqrt{2})^2$。成立。 正方形就是如此一个规矩的物体，数学公式都得顺着它来。