素数是不是确实找不完？这难题乍一看像个小难题，后来发现是个大坑。 那会儿只知道埃拉托斯特尼筛法那招，算到多少就知道多少，但那个得按个位数要么十位数来算，根本没法想象到底有多少。到了赶明儿，我脑子里蹦出来的第一个念头，就是：有没有办法算出一个最大的素数？
是不是赶明儿素数就到头了？ 这难题实际上挺有意思的。
要是素数像贝壳一样，每一层都比上一层小，那肯定有一个最终的一层，这个层再小也小不过来了，对吧？但素数的分布规律，让这种好办的直觉瞬间崩塌了。欧拉函数那个公式， $sum_{p le x} frac{1}{p-1}$ 收敛，听起来挺唬人，仿佛素数就那么多，但实际分布实在忒散了，就像撒胡椒面，你一辈子凑不齐一罐。 便我想，素数会不会随意找个地方撞死？比如，是不是存有一个素数，它后面跟着另一个素数，再后面跟着第三个素数，一直往正无穷延伸下去？ 想象一个数列：$2, 3, 5, 7, 11, 13, dots$，要是这个数列能一直伸向无穷大，那素数就没完没了。但要是这个数列在某个点之后彻底串不起来，比如所有素数都挤在 $1$ 到 $1000$ 这个区间里，那素数就“死了”。 我查了资料，发现有人赌了这回事。2003 年，哈罗德·康威和詹姆斯·马思斯出了一个十万分之一的概率，赌素数不会死，素数会死无葬身之地。结局呢？他们赢了。
这个赌注相当大，出于赌桌上写的全是 $p$，全是素数，只有这一行，全是数字，全是素数。 后来，1919 年，安德鲁·费曼发表了著名的费马大定理，说 $x^n + y^n = z^n$ 在 $n > 2$ 时没有整数解。
这个定理被证明是错的，费马大错。
这个错，就是引出了素数无穷的证据之一。 素数无穷这回事，实际上早就被证明白。高斯在 19 世纪中期就证了，但没人敢信。直到 1906 年，法国数学家雅克·阿达马和约翰·瑟达提交了证明，才让素数不再神秘兮兮的。我当时看证明的时候，简直感觉像是看了一部两百年没完结的史诗。 证明的过程实际上挺绕的。
要是你是想了解素数无穷性，那实际上只需求知道黎曼 $zeta$ 函数的零点。 黎曼 $zeta$ 函数是一个挺有意思的函数，定义为 $sum frac{1}{p^s}$，其中 $s$ 是个复数。
这个函数在实轴上的虚部 $y$ 一直大于等于 1，并且随着 $y$ 变大，这个虚部也越来越大。
这个虚部，实际上就是素数的密度。 素数无穷这个证明，实际上就是证明黎曼 $zeta$ 函数有无穷多个零点。而黎曼猜想就是证明所有的零点都在虚轴上，也就是所有的素数的密度都不变。 要是黎曼猜想是对的，那素数就无穷无尽。
要是黎曼猜想是错的，那素数可能就在某个地方“死”了。 我对这个证明的印象，实际上挺不清楚的。
可能是出于证明过程忒复杂了，忒需求写公式了。左边是共形映射，右边是解析函数……听着像是个教科书里的抽象名词，但具体如何构造，如何把几何的映射变成解析的函数，如何通过复变函数的性质去锁定那个零点，我脑海里连图像都没有。 不过，我也知道这个证明的核心思想实际上挺好办。用解析函数的性质，去证明一个数论的难题。
这是数论和复变函数交叉的地方，是数学里最迷人的局部。 实际上素数无穷这个证明，比费马大错还要复杂多。费马大错证明白 $1+x^2 = (1-y)(1+y+x^2)$，把方程拆成了两局部，这说明方程错在 $y$ 不是整数。而素数无穷的证明，是把 $x^2 + y^2$ 这种形式变成了 $zeta$ 函数的形式，然后利用复变函数的性质，去证明这个函数在虚轴上有无穷多个零点。 这中间涉及了大量高深的技巧，比如留数定理，共形映射，还有复变函数的性质。每一个步骤都像是在走钢丝，略微偏了，整个证明就废了。 我想了挺久，要是素数确实无穷，那这个证明是不是就忒无聊了？
是不是应当直接说，素数就是素数，没有尽头？ 但我认定，数学的魅力恰恰在于这种不确定性。
要是素数是有尽头的，那数学就忒死板了，忒像工程学了。
要是素数是无穷无尽的，那数学就充满了变数，充满了未知，充满了挑战。 想象一下，要是你确实算出了素数最大的那个数，那你所有的努力就白费了。出于赶明儿再有一个素数，你就算不出来，那也是合理的。但要是你证明白素数无穷，那你就算出了素数最大的那个数，那赶明儿再有一个素数，你也算不出来，那也是合理的。 故此，素数无穷这个证明，实际上不是为了证明“素数有尽头”，而是为了证明“素数没有尽头”。它不是要告诉我们素数到底有多少，而是要告诉我们，素数一辈子都存有。 这让我想起那会儿看科普书时，看到有人算到素数最大的那个数，然后说“哇，终于算出来了”，然后赶紧下一题。我认定那是挺迟钝的。出于当你算得充足大时，素数庞大的数量，已经让你感觉不到它了。 那时候，我就连想，素数会不会在某个庞大的质数之后，突然停下来？会不会在某个特定的时刻，素数的分布突然变得不均匀，然后那个异常又恢复了？ 要是素数无穷，那这个证明是不是就忒无聊了？
是不是应当直接说，素数就是素数，没有尽头？ 但我认定，数学的魅力恰恰在于这种不确定性。
要是素数是有尽头的，那数学就忒死板了，忒像工程学了。
要是素数是无穷无尽的，那数学就充满了变数，充满了未知，充满了挑战。 故此，素数无穷这个证明，实际上不是为了证明“素数有尽头”，而是为了证明“素数没有尽头”。它不是要告诉我们素数到底有多少，而是要告诉我们，素数一辈子都存有。 这让我想起那会儿看科普书时，看到有人算到素数最大的那个数，然后说“哇，终于算出来了”，然后赶紧下一题。我认定那是挺迟钝的。出于当你算得充足大时，素数庞大的数量，已经让你感觉不到它了。 那时候，我就连想，素数会不会在某个庞大的质数之后，突然停下来？会不会在某个特定的时刻，素数的分布突然变得不均匀，然后那个异常又恢复了？ 要是素数无穷，那这个证明是不是就忒无聊了？
是不是应当直接说，素数就是素数，没有尽头？ 但我认定，数学的魅力恰恰在于这种不确定性。
要是素数是有尽头的，那数学就忒死板了，忒像工程学了。
要是素数是无穷无尽的，那数学就充满了变数，充满了未知，充满了挑战。 故此，素数无穷这个证明，实际上不是为了证明“素数有尽头”，而是为了证明“素数没有尽头”。它不是要告诉我们素数到底有多少，而是要告诉我们，素数一辈子都存有。 这让我想起那会儿看科普书时，看到有人算到素数最大的那个数，然后说“哇，终于算出来了”，然后赶紧下一题。我认定那是挺迟钝的。出于当你算得充足大时，素数庞大的数量，已经让你感觉不到它了。 那时候，我就连想，素数会不会在某个庞大的质数之后，突然停下来？会不会在某个特定的时刻，素数的分布突然变得不均匀，然后那个异常又恢复了？ 要是素数无穷，那这个证明是不是就忒无聊了？
是不是应当直接说，素数就是素数，没有尽头？ 但我认定，数学的魅力恰恰在于这种不确定性。
要是素数是有尽头的，那数学就忒死板了，忒像工程学了。
要是素数是无穷无尽的，那数学就充满了变数，充满了未知，充满了挑战。 故此，素数无穷这个证明，实际上不是为了证明“素数有尽头”，而是为了证明“素数没有尽头”。它不是要告诉我们素数到底有多少，而是要告诉我们，素数一辈子都存有。