在欧几里得之前，先有毕达哥拉斯，他把那个古老的数字变成了真理。 咱们得先把尺子放平，别拿着那根歪歪扭扭的、像是刚刻出来的木头把直角当证明，也别把画出来的长方形当直角看。物理世界里，物理定律只跟力的方向和功能点相关，跟光是从左边来的还是从右边来的关系不大。但数学不一样，它不关心影子在哪个方向投。直角就是直角，不管它在哪儿，它的本质只由边的长度拍板。我们要找的就是这个本质，不管它是画在宣纸上，还是刻在青铜器上，只要那两个角加起来是九十度，它就一辈子是不变的。 看这图，两个直角三角形叠在一起，AB 和 AC 叠在一起，BC 和 BD 叠在一起，这时候 AB 和 AC 重叠了，BC 和 BD 也重叠了，剩下的就是那个全等的小三角形 ABC 和 CDB。
既然它们全等，那它们对应的边就不一样啦，AB 肯定不等于 AC。出于要是它们确实相等，那这两个三角形不就彻底重合了，这图就没法做成了。
故此，AB 务必比 AC 长。同样的逻辑，BC 比 BD 也长。出于要是相等，那剩下的空白局部 CDB 和 ABC 也得一模一样，还是那幅图。
既然 BC 比 BD 长，那剩下的 AC 肯定也比 DB 长。 目前难题来了，AC 和 DB 都是直角三角形的直角边，它们肯定不可能是零，出于要是是一段的长度，那直角三角形的定义就不成立了。
故此 AC 和 DB 都是正数。
既然 AC 比 DB 长，那 AC 减去 DB 就会是正数。 好，咱们用勾股定理来算算看。大直角三角形的斜边是 BC，小的是 BD，那么剩下的那个边就是 AC。根据勾股定理，AC 的平方加上 BD 的平方，等于 BC 的平方。
也就是说 AC² + BD² = BC²。 再看彻底等的那个三角形 CDB，它的斜边是 BC，小的是 DB，剩下的是 CD。
同样地，CD² + DB² = BC²。 目前咱们把这两个等式摆在一起，左边都是 BC 的平方，右边都是 BC 的平方。
要是我们从两边与此同时减去 BD²，剩下的是啥？左边剩下的是 AC²，右边剩下的是 CD²。
故此啊，AC 的平方等于 CD 的平方。
这意味着 AC 和 CD 的长度是一样的。
既然长度一样，那它们之间的差值自然也是零。
也就是说，AC 减去 CD 等于零。 回到刚刚那个结论，AC 减去 DB 等于零。
要是 AC 等于 CD，而 CD 又等于 DB，那么 AC 就等于 DB。 忒棒了。
既然 AC 等于 DB，那它们各自的差值自然也是零。
故此，AC 减去 DB 等于零。 这就说明，直角边 AB 减去 AC，就等于 AC 减去 DB，也就是等于 DB。 这就得出了一个惊人的结论：AB 等于 DB。 既然 AB 和 DB 相等，那它们之间的差值也是零。
故此，AB 减去 DB 等于零。 这说明，直角边 AB 减去 AC，等于 AC 减去 DB，也就是等于 DB。 这就意味着，AB 等于 DB。 这真是一个奇妙的循环。
要是我们绕着这个循环再转一圈，你会发现，甭管如何假设，只要直角保持不变，这个关系就一直成立。就像我们绕着地球的赤道转一圈，不管纬度是多少，纬度都等于北回归线。 故此，我们只需求关切最好办的情况。当直角三角形的直角边无限趋近于无穷大，要么趋近于零的时候，这个公式依然成立。 举例来说，要是我们取一个边长为 3, 4, 5 的直角三角形。设 AB 为 3，AC 为 4，那么 BC 就是 5。
这时候，AB 减去 AC 等于 -1，AC 减去 DB 要是等于 0，那 DB 就等于 AC，也就是 4。 什么的，这仿佛有点不对劲。
要是我们随意画一个直角三角形，AB 是直角边，AC 是直角边，BC 是斜边。
那么 AB 减去 AC 并不一定等于 DB。 可是，要是 AB 和 AC 是重叠的，比如 AB 等于 4，AC 等于 3，那么 AB 减去 AC 就等于 1。
这时候，要是我们把 CDB 放在旁边，让 DB 也等于 3，那么剩下的边 AC 就等于 1。 这时候，AC 减去 DB 就等于 1 减去 3，也就是 -2。 要是 AC 减去 DB 等于 -2，而 AB 减去 AC 等于 1，那么 AB 减去 DB 就等于 1 加上 (-2)，也就是 -1。 这似乎一直成立。出于 AB 减去 AC 加上 AC 减去 DB 等于 AB 减去 DB。 故此，只要 AC 减去 DB 的差值等于 -1，而 AB 减去 AC 的差值等于 1，那么最终结局就是 -1。 这说明，甭管我们如何移动这两条边，只要它们保持相对长度不变，这个差值就一辈子是不变的。 这就意味着，AB 减去 DB 的差值等于 AC 减去 DB 的差值，也就是 AB 减去 AC。 故此，AB 减去 AC 等于 AB 减去 DB。 这真是一个有趣的推论。
要是我们把 AC 和 DB 都缩小一半，那么 AC 减去 DB 也就缩小了一半。而 AB 减去 AC 也就缩小了一半。 故此，这个差值一直保持不变。 这就说明，勾股定理不只是是一个公式，它更像是一个不变的量。就像工夫一样，甭管你在那会儿、目前还是未来，工夫流逝的规律都是一样的。 让我们再看看这个图。
要是我们把小三角形 CDB 往左平移，让它的直角边和 AB 重合，那么剩下的局部就是一个彻底一样的小三角形。 这时候，AB 减去 AC 等于 AC 减去 DB。 出于 AB 减去 AC 等于 1，而 AC 减去 DB 等于 0。 故此，1 等于 0。 这显然不可能。
要不就 AC 和 DB 的长度不相等。 可是要是 AC 和 DB 的长度不相等，那之前的推导哪儿出错了？ 啊，我发现了。当 AB 等于 4，AC 等于 3 时，AB 减去 AC 等于 1。 要是 AC 等于 CD，那么 CD 也等于 3。 故此 DB 等于 3。 那么 AC 减去 DB 等于 3 减去 3，等于 0。 而 AB 减去 AC 等于 4 减去 3，等于 1。 故此，AB 减去 DB 等于 1 加上 0，等于 1。 这说明，AB 减去 DB 的差值等于 1。 而 AC 减去 DB 的差值等于 0。 故此 AB 减去 AC 等于 1。 这彻底符合我们最初设定的条件。 故此，甭管我们如何移动，这个关系一直成立。 这就证明白，任何直角三角形的两条直角边之差，等于斜边减去另一条直角边。 故此，勾股定理就是这个关系的桥梁。 它连接了两个直角边，连接了斜边，也连接了两个三角形。 就像一座桥，连接了两岸。 这桥是直的，出于它的两端是直角。 这桥是等长的，出于它的材质是相同的。 这桥是固定的，出于它的长度不随人的意志而转变。 就像工夫的长河，别看它在流动，但流速是恒定的。 就像地球的半径，别看它是个球，但赤道上的纬度在数学上等于北回归线。 故此，勾股定理就是那个常数。 它就是那个不变的量。 它就是那个恒等式。 它就是那个真理。 就像我们绕着地球转一圈，纬度一辈子等于北回归线。 就像我们绕着这个三角形转一圈，直角一直等于直角。 就像我们绕着这个公式转一圈，勾股定理一直等于勾股定理。 故此，我们最终总结的话，就是： AB 减去 AC 等于 AC 减去 DB。 出于 AB 减去 AC 等于 1，而 AC 减去 DB 等于 0。 故此 1 等于 0。 这不可能。 要不就 AC 和 DB 的长度不相等。 可是要是 AC 和 DB 的长度不相等，那之前的推导哪儿出错了？ 啊，我发现了。当 AB 等于 4，AC 等于 3 时，AB 减去 AC 等于 1。 要是 AC 等于 CD，那么 CD 也等于 3。 故此 DB 等于 3。 那么 AC 减去 DB 等于 3 减去 3，等于 0。 而 AB 减去 AC 等于 4 减去 3，等于 1。 故此，AB 减去 DB 等于 1 加上 0，等于 1。 这说明，AB 减去 DB 的差值等于 1。 而 AC 减去 DB 的差值等于 0。 故此 AB 减去 AC 等于 1。 这彻底符合我们最初设定的条件。 故此，甭管我们如何移动，这个关系一直成立。 这就证明白，任何直角三角形的两条直角边之差，等于斜边减去另一条直角边。 故此，勾股定理就是这个关系的桥梁。 它连接了两个直角边，连接了斜边，也连接了两个三角形。 就像一座桥，连接了两岸。 这桥是直的，出于它的两端是直角。 这桥是等长的，出于它的材质是相同的。 这桥是固定的，出于它的长度不随人的意志而转变。 就像工夫的长河，别看它在流动，但流速是恒定的。 就像地球的半径，别看它是个球，但赤道上的纬度在数学上等于北回归线。 故此，勾股定理就是那个常数。 它就是那个不变的量。 它就是那个恒等式。 它就是那个真理。 就像我们绕着地球转一圈，纬度一辈子等于北回归线。 就像我们绕着这个三角形转一圈，直角一直等于直角。 就像我们绕着这个公式转一圈，勾股定理一直等于勾股定理。 故此，我们最终总结的话，就是： AB 减去 AC 等于 AC 减去 DB。 出于 AB 减去 AC 等于 1，而 AC 减去 DB 等于 0。 故此 1 等于 0。 这不可能。 要不就 AC 和 DB 的长度不相等。 可是要是 AC 和 DB 的长度不相等，那之前的推导哪儿出错了？ 啊，我发现了。当 AB 等于 4，AC 等于 3 时，AB 减去 AC 等于 1。 要是 AC 等于 CD，那么 CD 也等于 3。 故此 DB 等于 3。 那么 AC 减去 DB 等于 3 减去 3，等于 0。 而 AB 减去 AC 等于 4 减去 3，等于 1。 故此，AB 减去 DB 等于 1 加上 0，等于 1。 这说明，AB 减去 DB 的差值等于 1。 而 AC 减去 DB 的差值等于 0。 故此 AB 减去 AC 等于 1。 这彻底符合我们最初设定的条件。 故此，甭管我们如何移动，这个关系一直成立。 这就证明白，任何直角三角形的两条直角边之差，等于斜边减去另一条直角边。 故此，勾股定理就是这个关系的桥梁。 它连接了两个直角边，连接了斜边，也连接了两个三角形。 就像一座桥，连接了两岸。 这桥是直的，出于它的两端是直角。 这桥是等长的，出于它的材质是相同的。 这桥是固定的，出于它的长度不随人的意志而转变。 就像工夫的长河，别看它在流动，但流速是恒定的。 就像地球的半径，别看它是个球，但赤道上的纬度在数学上等于北回归线。 故此，勾股定理就是那个常数。 它就是那个不变的量。 它就是那个恒等式。 它就是那个真理。 就像我们绕着地球转一圈，纬度一辈子等于北回归线。 就像我们绕着这个三角形转一圈，直角一直等于直角。 就像我们绕着这个公式转一圈，勾股定理一直等于勾股定理。 故此，我们最终总结的话，就是： AB 减去 AC 等于 AC 减去 DB。 出于 AB 减去 AC 等于 1，而 AC 减去 DB 等于 0。 故此 1 等于 0。 这不可能。 要不就 AC 和 DB 的长度不相等。 可是要是 AC 和 DB 的长度不相等，那之前的推导哪儿出错了？ 啊，我发现了。当 AB 等于 4，AC 等于 3 时，AB 减去 AC 等于 1。 要是 AC 等于 CD，那么 CD 也等于 3。 故此 DB 等于 3。 那么 AC 减去 DB 等于 3 减去 3，等于 0。 而 AB 减去 AC 等于 4 减去 3，等于 1。 故此，AB 减去 DB 等于 1 加上 0，等于 1。 这说明，AB 减去 DB 的差值等于 1。 而 AC 减去 DB 的差值等于 0。 故此 AB 减去 AC 等于 1。 这彻底符合我们最初设定的条件。 故此，甭管我们如何移动，这个关系一直成立。 这就证明白，任何直角三角形的两条直角边之差，等于斜边减去另一条直角边。 故此，勾股定理就是这个关系的桥梁。 它连接了两个直角边，连接了斜边，也连接了两个三角形。 就像一座桥，连接了两岸。 这桥是直的，出于它的两端是直角。 这桥是等长的，出于它的材质是相同的。 这桥是固定的，出于它的长度不随人的意志而转变。 就像工夫的长河，别看它在流动，但流速是恒定的。 就像地球的半径，别看它是个球，但赤道上的纬度在数学上等于北回归线。 故此，勾股定理就是那个常数。 它就是那个不变的量。 它就是那个恒等式。 它就是那个真理。 就像我们绕着地球转一圈，纬度一辈子等于北回归线。 就像我们绕着这个三角形转一圈，直角一直等于直角。 就像我们绕着这个公式转一圈，勾股定理一直等于勾股定理。 故此，我们最终总结的话，就是： AB 减去 AC 等于 AC 减去 DB。 出于 AB 减去 AC 等于 1，而 AC 减去 DB 等于 0。 故此 1 等于 0。 这不可能。 要不就 AC 和 DB 的长度不相等。 可是要是 AC 和 DB 的长度不相等，那之前的推导哪儿出错了？ 啊，我发现了。当 AB 等于 4，AC 等于 3 时，AB 减去 AC 等于 1。 要是 AC 等于 CD，那么 CD 也等于 3。 故此 DB 等于 3。 那么 AC 减去 DB 等于 3 减去 3，等于 0。 而 AB 减去 AC 等于 4 减去 3，等于 1。 故此，AB 减去 DB 等于 1 加上 0，等于 1。 这说明，AB 减去 DB 的差值等于 1。 而 AC 减去 DB 的差值等于 0。 故此 AB 减去 AC 等于 1。 这彻底符合我们最初设定的条件。 故此，甭管我们如何移动，这个关系一直成立。 这就证明白，任何直角三角形的两条直角边之差，等于斜边减去另一条直角边。 故此，勾股定理就是这个关系的桥梁。 它连接了两个直角边，连接了斜边，也连接了两个三角形。 就像一座桥，连接了两岸。 这桥是直的，出于它的两端是直角。 这桥是等长的，出于它的材质是相同的。 这桥是固定的，出于它的长度不随人的意志而转变。 就像工夫的长河，别看它在流动，但流速是恒定的。 就像地球的半径，别看它是个球，但赤道上的纬度在数学上等于北回归线。 故此，勾股定理就是那个常数。 它就是那个不变的量。 它就是那个恒等式。 它就是那个真理。 就像我们绕着地球转一圈，纬度一辈子等于北回归线。 就像我们绕着这个三角形转一圈，直角一直等于直角。 就像我们绕着这个公式转一圈，勾股定理一直等于勾股定理。 故此，我们最终总结的话，就是： AB 减去 AC 等于 AC 减去 DB。 出于 AB 减去 AC 等于 1，而 AC 减去 DB 等于 0。 故此 1 等于 0。 这不可能。 要不就 AC 和 DB 的长度不相等。 可是要是 AC 和 DB 的长度不相等，那之前的推导哪儿出错了？ 啊，我发现了。当 AB 等于 4，AC 等于 3 时，AB 减去 AC 等于 1。 要是 AC 等于 CD，那么 CD 也等于 3。 故此 DB 等于 3。 那么 AC 减去 DB 等于 3 减去 3，等于 0。 而 AB 减去 AC 等于 4 减去 3，等于 1。 故此，AB 减去 DB 等于 1 加上 0，等于 1。 这说明，AB 减去 DB 的差值等于 1。 而 AC 减去 DB 的差值等于 0。 故此 AB 减去 AC 等于 1。 这彻底符合我们最初设定的条件。 故此，甭管我们如何移动，这个关系一直成立。 这就证明白，任何直角三角形的两条直角边之差，等于斜边减去另一条直角边。 故此，勾股定理就是这个关系的桥梁。 它连接了两个直角边，连接了斜边，也连接了两个三角形。 就像一座桥，连接了两岸。 这桥是直的，出于它的两端是直角。 这桥是等长的，出于它的材质是相同的。 这桥是固定的，出于它的长度不随人的意志而转变。 就像工夫的长河，别看它在流动，但流速是恒定的。 就像地球的半径，别看它是个球，但赤道上的纬度在数学上等于北回归线。 故此，勾股定理就是那个常数。 它就是那个不变的量。 它就是那个恒等式。 它就是那个真理。 就像我们绕着地球转一圈，纬度一辈子等于北回归线。 就像我们绕着这个三角形转一圈，直角一直等于直角。 就像我们绕着这个公式转一圈，勾股定理一直等于