在讲抛物线焦点弦性质之前，咱得先看看定义。抛物线就是个开口向右的胖肚子，要么随意画个开口向左的，反正只要有一个焦点 F 和一个对应的准线 l，点 P 在曲线上，FP 的长度就是 P 到准线的距离。
这听起来有点绕，但几何性质实际上挺直接，就是看它跟焦点和准线那点关系。 拿斜率来讲，最核心那个性质就是“倒数和”。假设抛物线关了坐标轴，方程就是 $x^2 = 2py$。随意取一个点 P 在抛物线上，设它的横坐标是 $x_0$，纵坐标是 $y_0$。
这个点肯定在焦点弦上，那它的斜率 $k$ 就是 $y_0/x_0$。焦点 F 就在 $(0, p/2)$ 这里。
要是 P 和 F 连起来，斜率 $k_F = (p/2 - y_0)/(-x_0)$。把上面两个式子凑一起，你会发现 $k_F cdot k = -1/4$。
这个关系式在椭圆里是 $1/b^2$，在双曲线里是 $1/a^2$，但在抛物线这里，出于焦点就在对称轴上，这个性质简化成等轴系下的 $1/4$ 是个挺特殊的常数。 再说说角度关系，这个在解析几何里叫“角平分线性质”。
要是焦点弦是椭圆或双曲线，过焦点那是焦点弦，但在抛物线里，要是过焦点的弦把焦点三角形分成两个角，其中一个角等于另一个角的二倍，这描述得有点乱。更准的说法是，过焦点 F 的弦把抛物线分成两局部，这两局部被弦分开后的两个角，一个角的大小是另一个角大小的两倍。
这个结论忒反直觉了，反正直接套公式算出来 $2(1-cosalpha) = 4sin^2(alpha/2)$，两边消掉一个 $1-cosalpha$，剩下的就是 $1 = 2sin^2(alpha/2)$，也就是 $sin(alpha/2) = 1/2$，故此 $alpha/2 = 30^circ$，$alpha = 60^circ$。角度相等就完了，但这得是弦长除以高之类的比例，不是纯角度相等。 还有那个“倒数平方和”的，这个更硬核。假设过焦点 F 的水平弦长是 $L_0$，跟焦点成 $30^circ$ 角的两条弦长是 $L_1$ 和 $L_2$。
这个结论在椭圆里是 $1/b^2$，在双曲线里是 $1/a^2$，但在抛物线里，出于 $b$ 和 $a$ 都是无穷大，故此这个和等于 $1$，也就是 $sin^2alpha + sin^2(2alpha) = 1$。
这个公式在抛物线里不是恒成立的。
什么的，我是不是把椭圆双曲线的性质套进去了？不对，抛物线里这个公式是 $1/sin^2alpha = 1$，也就是 $sinalpha = 1$，这意味着弦务必垂直。
这明显是错的。 啊，我仿佛把椭圆双曲线的 $1/b^2$ 和 $1/a^2$ 的性质给混淆了。在椭圆里，过焦点的弦被准线截得的线段长和焦点到准线的距离成正比。在抛物线里，这个性质简化成：过焦点 F 的弦，被准线截得的线段长等于焦点到准线距离的 2 倍。
这听起来挺怪，出于焦点到准线距离是固定的，而弦长能够变。
不对，是弦被准线截得的线段长，等于焦点到准线距离的 2 倍。
这个比例在抛物线里是固定的，等于 2。 再拿个例子吧。设抛物线是 $y^2 = 4x$，焦点 F 是 $(1, 0)$，准线是 $x = -1$。取一条垂直于 x 轴的弦，也就是通径。
这条弦过焦点，垂直于对称轴。它的两个端点坐标是 $(1, 2)$ 和 $(1, -2)$。
那这条弦长就是 4。准线是 x=-1，它把这条弦截两半，每一半长是 2。正好等于焦点到准线的距离（1 到 -1 距离是 2）的 2 倍。量算一下，$2 times 2 = 4$，弦长确实也是 4。
这个例子能说明难题，数据挺清楚，不用绕弯子。 再试个斜着的弦。设过焦点 (1,0) 的直线方程是 $x = my + 1$。找个点 (1,0)，把这个代入抛物线 $y^2 = 4x$，得 $y = pm 2$。
故此通径确实是 4。再取个斜的，比如 $y = x - 1$。把 y 代入 $y^2 = 4x$，得 $(x-1)^2 = 4x$，展开 $x^2 - 2x + 1 = 4x$，即 $x^2 - 6x + 1 = 0$。根是 $x = 3 pm sqrt{8}$。
那对应的 y 值代入直线方程，拿到两个交点。算一下这两点间的距离，再算一下这两点间的垂直距离，也就是弦心距。弦心距是 1（焦点到准线距离是 2，一半是 1）。根据圆的性质，弦长公式是 $2sqrt{R^2 - d^2}$，这里 R 是弦心距，d 是焦点到准线的距离？不对，这是抛物线。应当用抛物线的焦半径公式。焦半径到焦点的距离是 $r = y^2/4x$？不对，焦半径公式是 $r = x_0 + p/2$。焦点是 $(p/2, 0)$，准线是 $x = -p/2$。点 P 到焦点距离是 $x_P + p/2$。 什么的，我是不是把抛物线焦半径公式搞错了？标准方程 $y^2 = 2px$，焦点 $(p/2, 0)$，准线 $x = -p/2$。点 P$(x_0, y_0)$，距离 $FP = x_0 + p/2$。通径端点 $(p/2, p)$，距离是 $p/2 + p/2 = p$。通径长是 $2p$。刚刚算的 $y^2=4x$，这里 $2p=4$，$p=2$，焦点 $(1,0)$，准线 $x=-1$，距离是 2。通径端点 $(1,2)$，距离是 $1+2=3$。通径长是 6。我刚刚量算错了，刚刚当作通径长是 4，实际上应当是 6。
那准线截通径两半，每半长 3。正好是焦点到准线距离（1）的 3 倍？不对，焦点到准线距离是 2。3 不等于 2 的 2 倍（4）。
哪儿错了？ 哦，焦半径公式是 $r = x + p/2$。通径端点横坐标是 $p/2$，故此距离是 $p/2 + p/2 = p$。
故此通径长是 $2p$。刚刚 $p=2$，通径长 4。端点 $(1,2)$ 到 $(1,0)$ 距离是 2。准线 $x=-1$，端点 $(1,2)$ 到准线距离是 $1 - (-1) = 2$。端点 $(1,-2)$ 到准线距离也是 2。
那准线截通径两半，每半长是 2。焦点到准线距离是 2。两半长度等于焦点到准线距离。
那为啥刚刚算焦半径是 3？出于焦点是 $(1,0)$，端点是 $(1,2)$，距离确实是 2。焦半径公式 $r = y^2/4x = 4/4 = 1$？不对，焦半径公式推导出来是 $x + p/2$。$x=1, p=2$，故此 $r = 1 + 1 = 2$。公式是对的。
那准线截的两半长度等于焦点到准线距离。
这个结论在抛物线里是恒成立的。 再换一个例子，斜弦。设直线 $x = my + 1$。交点横坐标 $x_1, x_2$ 是方程 $my^2 + 2x - 2 = 0$ 的根？不对，抛物线是 $y^2 = 4x$。代入 $x = my + 1$，得 $y^2 = 4(my + 1) Rightarrow y^2 - 4my - 4 = 0$。根是 $y = frac{4m pm sqrt{16m^2 + 16}}{2} = 2m pm 2sqrt{m^2+1}$。对应的 x 坐标是 $4m^2 + 8m + 4$。
那两个交点 $P_1, P_2$ 的焦半径之和是 $x_1 + 2 + x_2 + 2 = x_1 + x_2 + 4$。由韦达定理，$x_1 + x_2 = 8m^2 + 8$。
故此和是 $8m^2 + 12$。而通径长对应的两个焦半径和是 $p + p = 4$。当 $m=0$ 时，和为 12，不对。
哪儿错了？ 啊，通径长是 4，端点焦半径都是 2，和是 4。刚刚算的 $x_1 + x_2$ 是 $8m^2 + 8$，当 $m=0$ 时是 8，加上 4 是 12。
这明显不对。难题出在方程建立上。$x = my + 1$ 代入 $y^2 = 4x$。$y^2 - 4(my + 1) = 0 Rightarrow y^2 - 4my - 4 = 0$。两根之积 $y_1 y_2 = -4$。两根之和 $y_1 + y_2 = 4m$。对应的 x 坐标 $x_1 = (y_1^2)/4, x_2 = (y_2^2)/4$。$x_1 + x_2 = (y_1^2 + y_2^2)/4 = [(y_1 + y_2)^2 - 2y_1 y_2]/4 = [16m^2 - 2(-4)]/4 = [16m^2 + 8]/4 = 4m^2 + 2$。
故此 $x_1 + x_2 + 4 = 4m^2 + 6$。当 $m=0$ 时，和是 6。还是不对。通径长是 4，和应当是 4。
为啥算出来是 6？ 哦，通径是垂直于 x 轴的弦，也就是 $my=0 Rightarrow x=1$。代入 $y^2=4x$ 得 $y=pm 2$。对应 x 坐标都是 1。$x_1 + x_2 = 1 + 1 = 2$。焦半径和 $2 + 2 = 4$。刚刚方程 $y^2 - 4my - 4 = 0$，当 $m=0$ 时，$y^2 - 4 = 0 Rightarrow y = pm 2$。$x = my + 1 = 1$。$x_1 + x_2 = 1 + 1 = 2$。
那 $x_1 + x_2 + 4 = 6$。
为啥公式算出来是 6？出于 $(y_1^2 + y_2^2)/4 = (2y_1y_2)/4$？不对，$(y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 = 16 - 2(-4) = 24$。除以 4 是 6。
这如何也不对。 我是不是把抛物线方程搞错了？$y^2 = 2px$。通径长 $2p$。当 $x=1$，$y^2=4 Rightarrow y=pm 2$。通径长 4。
这时 $p=2$。焦点坐标 $(p/2, 0) = (1, 0)$。准线 $x = -1$。准线到焦点距离是 2。通径两端点 $(1,2)$ 到准线距离是 2。准线截通径，每半长 2。等于焦点到准线距离。
这个性质在抛物线里是 $L_2 = 2 cdot d(F, l)$。
这个性质是对的。 那为啥刚刚代数算出来和是 6？出于 $x_1 + x_2$ 是横坐标之和，焦半径是 $x + p/2$。
故此和是 $(x_1 + x_2) + p$。当 $m=0$ 时，$x_1 = x_2 = 1$，和是 $1 + 1 + 2 = 4$。对的。
那代数推导哪儿错了？$(y_1^2 + y_2^2)/4 = [(y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2]/4$。当 $m=0$ 时，$y^2 - 4 = 0$，$y_1=2, y_2=-2$。$y_1+y_2=0, y_1y_2=-4$。$(0 - 2(-4))/4 = 8/4 = 2$。
这是 $x_1+x_2$。
那焦半径和是 $2 + 2 = 4$。代数算出来是 4，对的。
那刚刚为啥算成 6？出于 $16m^2 + 8$ 除以 4 是 $4m^2 + 2$。当 $m=0$ 是 2。2 + 4 是 6。
为啥？出于 $x_1 + x_2 = (y_1^2+y_2^2)/4 = (16m^2+8)/4 = 4m^2+2$。
这没错。
那 $x_1 + x_2 + p = 4m^2 + 2 + 2 = 4m^2 + 4$。当 $m=0$ 时是 4。对的。
那为啥刚刚认定不对？出于我把 $x_1+x_2$ 算成了 8。$8m^2+8$ 是哪儿来的？啊，那是把 $2x = 8my + 2$ 代入 $y^2=2px$ 的时候搞错了系数。$x = my+1 Rightarrow 2x = 2my + 2$。$y^2 - 2my - 2 = 0$。$y_1+y_2 = 2m, y_1y_2 = -2$。$x_1+x_2 = (y_1^2+y_2^2)/2 = (4m^2+4)/2 = 2m^2+2$。焦半径和 $2m^2+2+2 = 2m^2+4$。当 $m=0$ 时是 4。对的。 好，那斜弦的焦半径和是 $2m^2 + 4$。通径长对应和是 4。当 $m=0$ 时相等。
那一般情况呢？这仿佛没啥用。
不过这个性质在抛物线里是 $1/b^2 = 1$，也就是无穷大。在椭圆里是 $1/b^2$，在双曲线里是 $1/a^2$。抛物线里出于 $b, a to infty$，故此 $1/b^2, 1/a^2$ 都趋于 0。
这意味着过焦点的弦被准线截得的线段长有限，而焦点到准线距离也是有限，这个比例是有限的。 再想想那个“角平分线”的性质。过焦点 F 的弦把焦点三角形分成两个角，一个是另一个的两倍。
这个在椭圆里是 $alpha, 2alpha$，在双曲线里也是。在抛物线里也是。
这实际上就是说，焦点三角形在抛物线里也是类似性质，只是边长变了。
这个性质在抛物线里确实成立。 还有数值例子，比如取 $m=1$。方程 $y^2 - 4y - 4 = 0$。根 $y = 2 pm sqrt{8}$。$x = 1 + y$。$x_1 = 4 + 2sqrt{2}, x_2 = 2 - 2sqrt{2}$。
这不对，$x$ 不能是负数。
哦，$x = my + 1$。$y = x - 1$。代入 $y^2 = 4x Rightarrow (x-1)^2 = 4x Rightarrow x^2 - 6x + 1 = 0$。根 $x = 3 pm sqrt{8}$。$x_1 approx 6.828, x_2 approx -0.828$。
这第二个根是负数，说明直线 $y=x-1$ 和抛物线 $y^2=4x$ 只有一个交点？不对，判别式 $36 - 4 = 32 > 0$。应当有俩交点。$x_1 = 3+sqrt{8} approx 5.82