坐标平面上给两个集合 C1 和 C2，我们想看看它们之间有没有“缝隙”。Poincaré 证明这个缝隙不存有的核心，实际上是个博弈。 先别想那些教科书里像堆砌砖块一样的开场白，直接切入要害。想象 C1 是个刚体的圆，C2 是另一个刚体。
要是它们中间隔着距离，Poincaré 会发现，既然 C1 和 C2 都是刚体且位置固定，那么它们之间的空隙大小就能被直接算出来。 这听起来忒好办，但 Poincaré 的 genius 在于把“几何直观”和“代数计算”强行掰开了揉碎了。他并不是靠尺规作图，也不是单纯地定义概念，而是用一种代数语言把几何空间里的距离关系给量化了。他知道，要是两个刚体不重叠，它们之间必然存有一个“宽度”，而这个宽度能够用积分算出来。 这就好比你在画一张地图，C1 和 C2 是地图上两个互不相连的区域。Poincaré 把难题转化成了：这两个区域边界上的点，在同一个参考系下，它们的距离到底多远？他利用拓扑学里的概念，证明白甭管如何变换坐标系，这个距离都不会消亡。 具体如何算呢？他得先定义好“广延”这个概念，然后利用积分来求面积。
要是两个区域不重叠，那么它们共同覆盖的总面积就是两个面积之和减去它们的交集面积。
要是交集面积为零，那总面积就是两者相加。
这个公式看似好办，实则是他工作的基石。 可是，只是有面积公式还不够，Poincaré 还得寻思“宽度”。他引入了一个关键的思想：在平面上的任意两个不相交的刚体集合，它们的“宽度”是由它们边界上对应点的距离函数拍板的。
要是两个刚体在平面上不相交，那么它们之间起码存有一个距离 d，使得在这个距离 d 范围内，两个集合都没有交集。 这个结论听起来有点抽象，但 Poincaré 把它硬生生拆解成了几个步骤。
第一步是确定集合的“宽度”。
第二步是计算这个宽度与集合边界曲线的关系。
第三步是利用积分来求和。每一步都充满了代数技巧，但每一步又都是几何直觉的直接体现。 举个例子说，假设 C1 是一个边长为 1 的正方形，C2 也是一个边长为 1 的正方形，它们平行放置，中间隔着 0.5。
那么根据 Poincaré 的逻辑，它们的宽度应当是 0.5。出于要是你试图把 C1 和 C2 靠得更近一点，比如让它们刚好接触，那么它们的交集就变成了一条线段，这时候“宽度”的定义就需求调整。 Poincaré 的了得之处在于，他知道这个结论不能依赖于具体的形状，也不能依赖于具体的坐标系。
不管你是用直角坐标系还是极坐标系，不管你是用欧几里得度量还是其他度量，只要两个集合不相交，这个“宽度”的性质就是一样的。 这就涉及到他工作中的一个核心方式：齐次化。他时常把难题放大，要么缩小，直到形状变得贼好办，比如变成一个圆要么一条线，然后利用对称性和代数性质推导出一般情况下的结论。
要是两个刚体在任何方向上的投影都不重叠，那么它们之间的宽度就不会为 0。 还有一个细节值得注意，就是他如何处理“边界”。在 Poincaré 的时代，拓扑学刚起步，他对“边界”的理解和今天不同。但他巧妙地避开了复杂的边界定义，直接利用集合的“广延”性质。
要是两个集合不重叠，那么它们广延的差值就是它们之间的距离。
这个逻辑链条贼严密，每一步都有理有据。 不过，Poincaré 的工作远不止于此。他不仅证明白存有性，还给出了具体的计算方式。对于一般的凸集，他给出了一个具体的公式来计算它们之间的宽度。
这个公式利用了积分和极坐标变换，把复杂的几何难题变成了代数难题。 自然，数学证明压根儿不是灵光一闪就能搞定的，Poincaré 也是经历过无数次黄了的。他无数次地尝试用不同的方式来证明这个结论，直到最终才成功。在这个过程中，他不仅得出了结局，还建立了一套整个的理论体系，为后来的拓扑学和几何分析奠定了坚实的 groundwork。 最终，我想说，Poincaré 的这项工作在当时是极具争议的。出于他的证明方式贼抽象，并且依赖于深入的理解。大量人认定他是在玩弄概念，而不是在解决实际难题。但随着工夫的推移，人们逐步明白，Poincaré 的伟大之处在于他敢于挑战传统的直觉，用新的数学工具重新定义了几何空间。 故此，当我们今天看到 Poincaré 的结论时，实际上是在致敬他那个时代的勇气和智慧。他证明白在平面几何中，两个刚体要是不重叠，它们之间就必然有“缝隙”，而这个缝隙的大小是能够被精确计算的。
这就是 Poincaré 的功劳。